در باره ی آموزش ریاضی

در باره ی آموزش ریاضی

پرویز شهریاری
روش آموزش امروزي ، دو جنبه و يك هدف دارد . دو جنبه ي آن عبارت است از : روش يادگيري و روش ارزيابي . هدف آن تربيت آدم هايي است كه بتوانند دشواريهاي جامعه ي خود يا جامعه جهاني را حل كند.
در باره ي روش ياد دادن سخني نمي گويم ، چون همه از آن آگاهيم و با آن بزرگ شده ايم و از نتيجه ي كم و بيش ناگوار آن هم ، اطلاع داريم . روش ارزيابي و نحوه ي امتحان را هم مي شناسيم . تمام شرط ها را براي ترس و نگراني دانش آموز فراهم مي كنيم و بعد در يك جلسه ي كوتاه ، زير فشار روحي بي اندازه اي « دانش » او را « ارزيابي » مي كنيم. من به نادرستي اين روش ، كه به نظرم از بيخ و بن نادرست است ، نمي پردازم و تنها به چند نكته جانبي آن اشاره مي كنم.
زماني كه با يكي از همكارانم كه حاضر نبود با افزودن تنها يك نمره ، دانش آموزي را از « مردودي » نجات دهد، صحبت مي كردم. به او كه به دقت امتحان خود اطمينان داشت گفتم : اگر همين امروز، يك بار ديگر از دانش آموزانت امتحان بگيري و پرسشها را هم، تا حد همان پرسشهاي بار اول قرار دهي، آيا مي تواني با اطمينان بگويي كه همه ي آنها، همين نمره را خواهند گرفت؟ به طور طبيعي پاسخ او منفي بود. گفتم: اگر براي نمونه، يك هفته ي ديگر به دانش آموزانت وقت بدهي و بعد امتحان بگيري، چطور؟ باز معلوم بود كه نمره ها تغيير مي كند. گفتم: راه حل ساده تري انتخاب مي كنيم، نه امتحان تازه اي لازم است، نه دقت بيشتري. براي دانش آموزان، همين ورقه ها را ، با تغيير ميزان نمره اي كه به هر پرسش داده اي ، دوباره تصحيح كن ، از آنجا كه ارزش هر پرسش را خودت معين كرده اي ، مي تواني به صورت ديگري آن را تغييردهي، آن وقت چه خواهد شد؟ روشن بود كه باز هم نمره ها تغيير مي كردند. گفتم : اگر با همين پرسشها و همين بارم ، ورقه ها را چند ماه ديگر، خودت تصحيح كني، به شرطي كه نمره هاي امروز را فراموش كرده باشي، با تفاوت احتمالي كه در روحيه ي امروز و آن روز تو به وجود مي آيد، آيا مطمئني همين نمره ها را ، روي ورقه ها بگذاري؟ در اينجا هم پاسخ منفي بود.
خوب، اين چگونه ارزيابي است كه با تغيير هر عامل كوچك آن، بدون اينكه در « دانش » فرد مورد آزمايش تغييري پيش آيد، نتيجه را دگرگون مي كند؟ گمان مي كنم همين چند جمله، براي بي ارزش بودن اينگونه ارزشيابي كافي باشد.
سالها پيش، در يكي از دبيرستان ها،دانش آموزي داشتم كه مرا به شگفتي مي انداخت، هر وقت در كلاس چيزي از او مي پرسيدم، با اطمينان و قدرت كافي پاسخ مي داد. ولي برگه هاي امتحاني او، هميشه از متوسط هم اندكي پايين تر بود. تصميم گرفتم، در يكي از جلسه هاي امتحان، بدون اينكه خود او متوجه شود، مراقب كار او باشم، او پيش از اينكه امتحان آغاز شود، روي مسئله اي كه به ظاهر، ذهن او را به خود مشغول داشته بود، كار مي كرد. چنان در خود فرو رفته بود كه متوجه پخش پرسش هاي امتحاني نشد. من به او هشدار ندادم .بيش از يك ساعت از وقت امتحان گذشت و او همچنان به كار خود فرو رفته  بود. من تاب نياوردم و به او اعلام كردم كه روز امتحان است و وقت دارد تمام مي شود. با ناراحتي نگاهي به پرسشها كرد. قلم را روي كاغذ گذاشت و آغاز به نوشتن كرد، بعد از نيم ساعت بلند شد و برگ امتحاني را تحويل داد و رفت. نمره ي امتحاني او، مانند هميشه درخشان نبود. ولي من متوجه شدم او از آنهايي است كه به راه فكري خود بيشتر اهميت مي دهد تا نمره اي كه در كارنامه اش بيايد. اين دانش آموز به سفارش من، و بر خلاف سفارش ديگران، رشته ي رياضي را دنبال كرد و امروز يكي از صاحب نظران در رشته رياضي است و در يكي از معتبرترين دانشگاههاي جهان، به تدريس و تحقيق در رياضيات مشغول است.
چه بايد كرد؟ بي ترديد من نمي توانم نسخه اي شفابخش ارائه كنم. من كه عمري معلم بوده ام و كم بيش با شيوه مرسوم، تدريس كرده ام، درد را بهتر مي شناسم تا درمان را، درباره ي موضوع به اين پيچيدگي چون آموزش، نبايد منتظر بود، نسخه اي فوري و قطعي پيدا شود. آنچه در اينجا مي گويم و نتيجه اي از تجربه معلمي من است، تنها مي تواند نوعي مسكن تلقي شود، من از دو سفارش و يك پيشنهاد سخن خواهم گفت:
نخستين سفارش من اين است كه تا جايي كه ممكن است، از كار انفرادي پرهيز كنيم و دانش اندوزي را به صورت يك كارگروهي در آوريم. باز هم از يك تجربه ي خود ياد كنم. اين پيش آمد مربوط به زماني است كه من دانشجو بودم و در ضمن در يكي از دبيرستان ها تدريس مي كردم. در آن دبيرستان، سه كلاس دوم دبيرستان وجود داشت كه درس هندسه ي يكي از آنها به عهده من گذاشته شده بود. من، بعد از نزديك يك ماه كه با كلاس به اندازه كافي آشنا شده بودم، دانش آموزان را به گروه هاي سه نفري تقسيم كردم و در هر گروه يك دانش آموز به اصطلاح « قوي » يك دانش آموز « متوسط » و يك دانش آموز « ضعيف » قرار دادم. رو به كلاس گفتم : من به فرد نمره نمي دهم و فرد را نمي شناسم. براي من، گروه مطرح است. براي نمونه، وقتي شما امتحان بدهيد، هر كسي بايد برگ خودش را بنويسد، ولي من سه برگ هر گروه را به هم سنجاق مي كنم، مجموع نمره هاي سه برگ را به سه تقسيم مي كنم و نتيجه را براي هر سه نفر مي گذارم... حدس مي زنيد بازتاب اين حرف در كلاس چگونه بود؟ دانش آموزان ضعيف خوشحال بودند، ولي فرياد دانش آموزان قوي بلند شد كه: اگر دوست من درس نمي خواند، من چه گناهي كرده ام؟ ولي من بي احساس و بي تفاوت، روي تصميم خود پاي فشردم. دانش آموزان باور نكردند، ولي وقتي در سه ماهه ي نخست، به همين ترتيب عمل كردم، به خود آمدند. البته حدس مي زنيد كه من از طرف پدر و مادرها و مسئولان مدرسه، زير چه فشار روحي قرار گرفتم. همه را تحمل كردم و در تصميم خود تغييري ندادم. دانش آموزان به جان هم افتادند، وقتهاي زيادي را در مدرسه مي ماندند و به هم كمك مي كردند، به خانه هاي هم مي رفتند، هر گروه از گروه هاي ديگر كمك مي گرفت و در همه ي اين موردها، دانش آموزان قوي، به علت از دست دادن نمره خوب پيش قدم بودند. امتحان سه ماهه ي دوم را هم به همين ترتيب انجام دادم. تلاش دانش آموزان بيشتر شد و همراه با آن، فشار به من هم روزافزون تر بود، حتي در اثر شكايت پدر و مادرها از طرف وزارت فرهنگ آن زمان، كساني براي رسيدگي به اين رفتار ظالمانه من به دبيرستان آمدند، ولي خوشبختانه تا بازرس ها منتظر گزارش هاي خود بودند، سال تحصيلي به پايان خود رسيد و برنامه ي امتحاني آخر سال را دادند. نمره هاي آخر سال را به ترتيب معمول دادم، يعني نمره ي هر كس را به خودش، نتيجه ي كار شگفتي آور بود. در كلاس من هيچكس نمره ي كمتر از 15 نداشت. همه از درس هندسه قبول شدند. واين معجزه ي كار گروهي بود. اين تجربه نتيجه ديگري هم داشت. معلوم شد تقسيم دانش آموزان به « با استعداد » و « كم استعداد » آن طور كه گمان مي شود، ساده نيست و اگر روش كار درست باشد، بسياري از « كم استعدادها » به گروه « با استعدادها » مي پيوندند، به جز همه اين كارها، كار گروهي، رابطه ي انساني بين دانش آموزان را تقويت مي كند، از رقابت هاي ناسالم آنها مي كاهد و محيطي به وجود مي آورد كه هر كسي خودش را مسئول سرنوشت ديگري هم مي داند. بايد عادت كنيم در تمام كارهاي علمي، تك روي را كنار بگذاريم. شما آزمايش كنيد، حتي اگر يك داستان را دو يا سه نفري با هم بخوانيد و در باره آن بحث كنيد،در مقايسه با مطالعه ي انفرادي جه نتيجه هاي شگفت انگيزي به دست مي آوريد. طبيعت كار گروهي ايجاب مي كند كه با بحث و انتقاد و خرده گيري همراه باشد و همين وضع به سالم تر شدن رابطه ي انساني افراد وهم به عميق تر شدن يادگيري دانش، كمك فراوان مي كند.
و اما سفارش دوم من اين است كه در دانش آموزان، اعتماد به خود بوجود آوريد. وقتي به كسي از چپ و راست، وصله ي بي شعوري و بي استعدادي زده مي شود، و او به تدريج اين اعتقاد ديگران را مي پذيرد اعتماد نسبت به خود را از دست مي دهد و باور مي كند كه نمي تواند چيزي ياد بگيرد.
در همان دبيرستان و در كلاس ديگري، و باز هم در درس هندسه، دانش آموزي بود كه همه دبيران و اداره كنندگان مدرسه، از او به بدي ياد مي كردند. پيش از آن كه من به كلاس بروم، مدير مدرسه به من هشدار داد كه مواظب اين دانش آموز باشم، چون بي تربيت و بي شعور است. وقتي كه من از درس رياضي او پرسيدم با لبخند تمسخرآميزي به من گفت: من مي گويم او بي شعور است و تو مي پرسي، آيا رياضيات را مي فهمد يا نه؟ من با ترس و دلهره وارد کلاس شدم. می ترسیدم، این دانش آموز، ناگهان برخیزد و صندلی یا چیزی دیگر به سمت من پرتاب کند . برای اینکه او را بشناسم ، دفتر کلاس را با خود بردم و دانش آموزان را یکی یکی صدا کردم او هم مانند دیگران ، با شنیدن نام خود برخاست و یعد نشست . مسئله ای را مطرح کردم . شکل آن را روی تخته کشیدم و به یاری خود دانش آموزان آغاز به حل آن کردم . گاه از این دانش آموز به اصطلاح «بی شعور »هم چیزی می پرسیدم ، ولی تلاش می کردم ، پرسش من طوری باشد که او پاسخ درست بدهد . هر بار که او پاسخ درست را می داد ، با رضایت به او نگاه می کردم و می گفتم : آفرین تو خوب می فهمی ! نگاه او حاکی از آن بود که تمجیدهای مرا باور ندارد . همه به او می گفتند تو چیزی نمی فهمی و حالا کسی پیدا شده و به فهم او آفرین می گوید ، ولی قیافه و بیان من جدی بود و بتدریج اطمینان پیدا کرد که من فصد مسخره کردن او را ندارم . گاهی می دیدم، در زنگهای تفریح به دنبال این و آن که :شما را بخدا، درس هندسه را به من بگوئید. من تنها نزد یک نفر آبرو دارم و نمی خواهم اینجا هم آبرویم برود. و من هرگز نگذاشتم آبروی او برود . در تمام جلسه ها از او می پرسیدم، ولی همیشه به نحوی که او بتواند پاسخ درست را بدهد. این دانش آموز کم کم در درس هندسه راه افتاد و نسبت به آن علاقه مند شد. نزدیکی های پایان سال بود که پدرش به دیدار من آمد. او می خواست بداند من چه کرده ام که پسرش تا این اندازه به هندسه علاقه مند شده است، در حالی که هنوز هیچ یک از درس های خود را یاد نمی گیرد . پدرش می گفت حتی سر میز نهار هم، همانطور که غذا می خورد، در باره مسئله هندسه فکر می کند و در جیبش کاغذی آماده دارد که هر جا فرصتی پیش آمد ، روی مسئله مورد علاقه اش کار کند . به پدرش گفتم : من تنها به او فهمانده ام که بر خلاف آن چه همه می گویند، او بی شعور نیست و می تواند همه چیز را بفهمد. البته، این موضوع را با روش خاص خودم گفتم، نه با مذاکره ی روبرو و صریح . این دانش آموز درآن سال در درس هندسه نمره ی بسیار خوبی گرفت، ولی به دلیل نمره های بسیار پایینی که در درسهای دیگر گرفته بود، مردود شد. می بینید که اعتماد به خود معجزه گر می باشد، اعتقاد دارم هر آدمی می تواند دیگران را فریب دهد ولی برای اینکه کسی بتواند خودش را فریب دهد، به نیروی روحی بی اندازه ای نیاز دارد. ما همیشه درباره ی خود ، با افراط و تفریط داوری می کنیم به ویژه در باره قابلیت های خود، خیلی کمتر از آنچه هستیم تصور می کنیم. این به ویژه، در باره ی جوانها که خیلی زود زیرتلقین بزرگترها قرار می گیرند، بیشتر صدق می کند. بارها پیش آمده است، دانش آموزی را که گمان می کرده است درس را نمی فهمد، وا داشته ام تا درس تازه ای را چنان یاد بگیرد که بتواند آن را به هم کلاسیهای خود درس بدهد. وبرای اینکه انگیزه ای داشته باشد، با او قرار گذاشته ام که نمره تدریس او، همان نمره امتحانش خواهد بود و اغلب از عهده ی این کار سنگین به خوبی برآمده اند و با این موفقیت، چنان اعتمادی نسبت به خود پیدا کرده اند که دیگر از آن درس عقب نمانده اند گروه بندی کلاس ها به « قوی » و « ضعیف» به شدت به دانش آموزان نسبت به قابلیت خود، لطمه می زند و آنها را از پیشرفت عادی خود باز می دارد. این برچسب ها که بیشتر مطابق با واقع نیست و نتیجه ای از« ارزشیابی های » نادرست است، دانش آموز را به کلی در برابر خودش ناتوان و بی دفاع می کند و از مسیر پیشرفت بازش می دارد.
یکی از راههای دیگری که به دانش آموزان کمک می کند تا اعتماد بیشتری نسبت به خودشان پیدا کنند این است که بخش هایی از درس را که ساده تر است، ناتمام بگذاریم و نتیجه گیری کامل و دقیق را از خود آنها بخواهیم. تجربه نشان داده است که بیشتر دانش آموزان به خوبی می توانند، ضمن کار گروهی و به کمک یکدیگر، بدون یاری معلم، درسهای علمی را فرا بگیرند. در این صورت معلم می تواند تنها نقش راهنما را داشته باشد و نارسایی استدلال های احتمالی آنها را اصلاح کند.
به نقل از شماره ی 108 مجله ی « فضا » مرداد ماه 1355
برگرفته از ماهنامه ی « دانش و مردم » شماره ی 3و4 خرداد و تیر 1385


«تاريخچه مختصر رياضيات1»

  قسمت اول                                                                            
انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همانطور كه مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه هايش را مي داند انجام مي داد اما به زودي مجبور شد وسيله شمارش دقيق تري بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد كه مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار كه بسيار پيچيده مي باشد قديمي ترين دستگاه شماري است كه آثاري از آن در كهن ترين مدارك موجود يعني نوشته هاي سومري مشاهده مي شود. سومريها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين النهرين يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي عكاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند. نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي (639- 548 ق. م.) است كه در پيدايش علوم نقش مهمي به عهده داشت و مي توان وي را موجد علوم فيزيك، نجوم و هندسه دانست. در اوايل قرن ششم ق. م. فيثاغورث (572-500 ق. م.) از اهالي ساموس يونان كم كم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مكتب فلسفي خويش همت گماشت. پس از فيثاغورث بايد از زنون فيلسوف و رياضيدان يوناني كه در 490 ق. م. در ايليا متولد شده است نام ببريم. در اوايل نيمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالي كيوس قضاياي متفرق آن زمان را گردآوري كرد و در حقيقت همين قضايا است كه مباني هندسه جديد ما را تشكيل مي دهند. در قرن چهارم قبل از ميلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبي ايجاد كرد كه نه قرن بعد از او نيز همچنان برپا ماند. اين فيلسوف بزرگ به تكميل منطق كه ركن اساسي رياضيات است همت گماشت و چندي بعد منجم و رياضي دان معاصر وي ادوكس با ايجاد تئوري نسبتها نشان داد كه كميات اندازه نگرفتني كه تا آن زمان در مسير علوم رياضي گودالي حفر كرده بود هيچ چيز غيرعادي ندارد و مي توان مانند ساير اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد. در قرن دوم ق. م. نام تنها رياضي داني كه بيش از همه تجلي داشت ابرخس يا هيپارك بود. اين رياضيدان و منجم بزرگ گامهاي بلند و استادانه اي در علم نجوم برداشت و مثلثات را نيز اختراع كرد. بطلميوس كه به احتمال قوي با امپراطوران بطالسه هيچگونه ارتباطي ندارد در تعقيب افكار هيپارك بسيار كوشيد. در سال 622 م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگي تمدن اسلام بود. در زمان مأمون خليفه عباسي تمدن اسلام به حد اعتلاي خود رسيد به طوري كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن يازدهم زبان عربي زبان علمي بين المللي شد. از رياضيدانان بزرگ اسلامي اين دوره يكي خوارزمي مي باشد كه در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت. ديگر ابوالوفا (998-938) است كه جداول مثلثاتي ذيقيمتي پديد آورد و بالاخره محمد بن هيثم (1039-965) معروف به الحسن را بايد نام برد كه صاحب تأليفات بسياري در رياضيات و نجوم است. قرون وسطي از قرن پنجم تا قرن دوازدهم يكي از دردناكترين ادوار تاريخي اروپاست. عامه مردم در منتهاي فلاكت و بدبختي به سر مي بردند. برجسته ترين نامهايي كه در اين دوره ملاحظه مي نماييم در مرحله اول لئونارد بوناكسي (1220-1170) رياضيدان ايتاليايي است. ديگر نيكلاارسم فرانسوي مي باشد كه بايد او را پيش قدم هندسه تحليلي دانست. در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ايتاليايي و شاگردان آلماني آنها در حساب عددي جبر و مكانيك ترقيات شايان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصي به نام فرانسوا ويت (1603-1540م) به پيشرفت علوم رياضي خدمات ارزنده‌اي نمود. وي يكي از واضعين بزرگ علم جبر و مقابله جديد و در عين حال هندسه دان قابلي بود. كوپرنيك (1543-1473) منجم بزرگ لهستاني در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسماني منظومه شمسي را اين چنين ارائه داد: 1- مركز منظومه شمسي خورشيد است نه زمين.
2- در حاليكه ماه به گرد زمين مي چرخد سيارات ديگر همراه با خود زمين به گرد خورشيد مي چرخند.
3- زمين در هر 24 ساعت يكبار حول محور خود مي چرخد، نه كره ستاره هاي ثابت. 

معمای فبیله

- فرض كنيد

 - ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.

- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.

- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.

- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.

- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.

- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.

- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.

- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.

- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.

سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين شده(n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟

عدد عجيب

یک نفر از اساتید دانشکده شهر آتن پایتخت يونان چندی پیش عددی را کشف کرد که خصایص عجیبی دارد. آن عدد142857 میباشد.

اگر عدد مذکور را در دو ضرب کنیم، حاصل 285714 میشود! (به ارزش مکانی 14 توجه کنید).

اگر این عدد را در سه ضرب کنیم حاصل 428571 میشود!(به ارزش مکانی 1 توجه کنید).

اگر این عدد را در چهار ضرب کنیم حاصل 571428 میشود!( به ارزش مکانی 57 توجه کنید).

اگر این عدد را در پنج ضرب کنیم حاصل 714285 میشود!(به ارزش مکانی 7 توجه کنید).

اگر این عدد را در شش ضرب کنیم حاصل 857142 میشود! (سه رقم اول با سه رقم دوم جا بجا شده)

اگر این عدد را در هفت ضرب کنیم حاصل 999999 میشود!

لطفا" ضربهای بالا را خود شما نیز انجام دهید و حاصل را با عدد اصلی مقایسه کنید.

تحولات تاريخي واژه مثلثات

واژه "مثلثات" از "مثلث" آمده است و ترجمه‌ای است از واژه فرانسوی هم ارز که به معنای "اندازه گیری مثلث" است. در زبان فارسی، به جای "مثلثات" از واژه "سه بروارگان" استفاده کرده‌اند. از نامگذاری "مثلثات" می‌توان حدس زد که، این شاخه از ریاضیدانان، برای رفع دشواریهای مربو به محاسباتی دانست که، در هندسه و در اخترشناسی، روبه روی دانشمندان بوده است. در ضمن، دشواریهای هندی خود ناشی از مسائلی بوده است که در اخترشناسی با آن روبرو می‌شده‌اند و بیشتر جنبه محاسبه‌ای داشته‌اند.
مکان یابی نجومی:
در اخترشناسی ، برای تعیین جا و موقعیت ستارگان ، فاصله‌های آنها از یکدیگر و این ویژگیهای آنها ، به عدد نیاز داشتند، ولی در راه حل هندسی ، پاسخ را از جمله به صورت یک پاره خط راست به ما می‌دهد و ، در نتیجه کار اخترشناسان را دشوار می‌کرد. کهنترین جدولی که به ما رسیده و در آن طول وترهای برخی کمانهای داده شده است، متعلق به هیپارک اخترشناس سده دوم میلادی است. و شاید بتوان ، تنظیم آن جدول را ، گام نخستین کوچکی ، در راه پیدایش مثلثات دانست. منه لائوس ریاضیدان و بطلیموس اخترشناس در این زمینه ، نوشته‌هایی از خود باقی گذاشته‌اند. ولی همه کارهای ریاضیدانان و اخترشناسان یونانی ، درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفاهیم اصلی مثلثات نرسیدند.

نخستین گام بوسیله آریابهاتا ، ریاضیدان هندی سده اول نجم میلادی برداشته شد که در واقع تعریفی برای نیم وتر یک کمان (یعنی ، همان سینوس) ارائه کرد. از این به بعد ، تقریبا همه کارهای مربوط به شکل گیری مثلثات به ویله دانشمندان ایرانی انجام گرفت، خوارزمی نخستین جدولهای سینوس را تنظیم کرد، و پس از او همه ریاضیدانان ارانی گامهایی برای تکمیل این جدولها و گسترش مفاهیم مثلثاتی برداشتند.
دستاوردهای ایرانیان:
کروزی جدول سینوسها را 30 دقیقه به 30 دقیقه تنظیم کرد و برای نخستین بار ، به دلیل نیازهای اخترشناسی ، مفهوم تانژانت را (که ظلل می‌نامیدند) تعریف کرد، جدیترین تلاشها بوسیله ابوریحان بیرونی و ابوالوفای بوزجانی انجام گرفت که توانستند پیچیده‌ترین دستورهای مثلثاتی را پیدا کنند و جدولهای سینوسی - تانژانتی را با دقت بیشتری تنظیم کنند.

سرانجام ، خواجه نصیرالدین طوسی با جمع بندی کارهای دانشمندان ایرانی پیش از خود ، نخستین کتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسی ، جمشید کاشانی ، ریاضیدان ایرانی زمان تیموریان، با روش زیبایی که برای حل معادله درجه دوم پیدا کرده بود، توانست راهی برای محاسبه سینوس کمان یک درجه و با هر دقت دلخواه پیدا کند. پیشرفت بعدی دانش مثلثات ، از سده پانزدهم میلادی و در اروپای غربی انجام گرفت.

اصول یادگیری ریاضی

یادگیری ریاضی پیرو اصول و قوانینی ا ست که توجه به آنها کار فراگیری را آسان می سازد ، از جمله آنها می توان به موارد زیر اشاره کرد:
- مطالب ریاضی کاملا به هم پیوسته هستند و باهم ارتباط نزدیک و منطقی دارند. به عنوان مثال تسلط در محاسبه چهار عمل اصلی در اعداد طبیعی ( دوره ابتدایی ) پیش نیاز محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد صحیح ( سال اول راهنمایی ) و تسلط در محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد صحیح پیش نیاز محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد گویا( سال دوم و سوم راهنمایی ) و محاسبات در چهار عمل اصلی اعداد طبیعی و صحیح و گویا پیش نیاز محاسبات در قسمت جبر و معادله است و 000
- در موقع تدریس در کلاس کاملا به درس دبیر گوش فرا دهید و اگر می توانید یادداشت مختصری بردارید به ویژه مثال هایی را که دبیر در کلاس حل می کند بنویسید و بعد از کلاس نوشته ها و یادداشت های خود را مرتب کنید .

- در حل تمرینات تعیین شده به وسیله دبیر ، حتما از فکر و ابتکار خودتان کمک بگیرید. اگر شما یک سوال ریاضی را با فکر و ابتکار خودتان حل کنید بهتر از آن است که بیست تمرین در کلاس توسط دبیر یا دانش آموزان حل شود و شما راه حل ها را رونویسی کنید . زیرا که انسان از کشف مجهولات و نادانسته های خود لذت می برد و لذتی که از حل مسائل ریاضی در انسان ایجاد می شود قابل توصیف نیست ، شما هم برای خودتان این لذت را تجربه کنید .

- برای حل تمرینات و سوالات مربوط به درس باید قبل از شروع به حل آنها به درس مربوط و مثال های حل شده در کتاب یا در کلاس مراجعه کنید و بدانید که : فراگیری علم ریاضی محتاج تفکر و توجه و دقت است . اگر از حل تمرینی بازماندید مأیوس نشوید و تسلیم سوال نشوید ، فکر کنید و قوه اندیشه خود را به کار ببرید حتما موفق خواهید شد .

- طبق آخرین تحقیقات انجام شده در سطح جوامع پیشرفته ، همه افراد توانایی یادگیری ریاضی را دارند ولی عده ای برای فراگیری آن باید زحمت بیشتری را متحمل شوند.

- اگر در درس ریاضی ضعیف هستید از دانش آموزان قوی کمک بگیرید و سعی کنید با راهنمایی آنها و یا اطرافیان سوالات ریاضی را خودتان حل کنید و هیچگاه از روی چیزی رونویسی نکنید زیرا این کار مانع رشد فکری شما شده و نیروی خلاقیت شما روز به روز کمتر خواهد شد .تا حدی که از مشاهده ساده ترین سوال ریاضی هم استرس و واهمه خواهید داشت .

- لازم است بدانید اکثر مفاهیم آموخته شده در کلاس درس در حافظه کوتاه مدت شما ذخیره می شود و شما فکر می کنید که آن درس را به طور کامل یاد گرفته اید در صورتی که عمر مفاهیم در حافظه کوتاه مدت بیش ار 30 ، 40 ساعت نیست و دچار فراموشی می شوید . در صورتی که تمام مفاهیم ریاضی باید در ذهن شما تثبیت شوند و به صورت ملکه ذهنی درآیند.که این امر میسر نخواهد شد مگر با حل سوالات درک و فهمی و کاربردی و تلفیقی در مورد موضوع درس .