از ریاضیات بیاموزیم
انسان چگونه داوری می کند؟ آیا می توان داوری و استدلال را از هیچ آغاز کرد و از همان کلام نخست استدلالی صحبت کرد؟ آیا میتوان در بحث با کسیکه هیچ چیز را نمیپذیرد و به عنوان برهانی بودن بحث، حتی بدیهی ترین حکم ها را منکر می شود و از طرف مقابل می خواهد تا برهان و استدلال خود را از صفر آغاز کند ، به تفاهم رسید؟
بگذارید خاطره ای یاد کنم. در سال های اول دبیرستان،یک روحانی پرهیزکار و در عین حال فاضل(آیت ا... حقیقی) دبیر هندسه ما بود . او مردی بود فوق العاده زحمتکش و دلسوز ، و من باید اعتراف کنم که دست کم قسمت عمده علاقه ای را که به ریاضیات پیدا کردم ، مدیون او هستم .
او در نخستین جلسهی درس،با تعریف سادهای،استدلالی بودن هندسه را به ما تلقین کرد.او گفت:بچهها، هندسه یعنی علم"چرا؟" و تا وقتی قانع نشدهاید نباید از گفتن"چرا؟"دست بردارید. به همین دلیل، وقتی که می خواست قضیه ای را ثابت و یا مسئله ای را حل کند، یکی از ما را به پای تخته سیاه می برد و از او می خواست تا در برابر آن چه می گوید و هر جا که احساس می کند ، چیزی مبهم و نامفهوم باقی مانده است، بگوید "چرا؟" . ولی اغلب پیش می آمد که" مامور چرا" حواسش پرت می شد و اغلب بیجا و بدون مناسبت میان سخن معلم می پرید و می گفت "چرا؟" . معلم روحانی ما ، با شکیبایی تمام تلاش خود را به کار می برد تا او را قانع کند، ولی غالبا باز هم با رگبار "چراهای" شاگرد مواجه می شد و ... این جا بود که با همهی حلم خود از جا در میرفت، لرزشی لب هایش را فرا میگرفت و با خشمی ناپیدا ، صدایش را بلند می کرد که : پسرم دیگر آنچه را که می بینی و با تمام وجودت احساس می کنی منکر نشو .... و یک روز تمام ساعت درس را در این باره با ما صحبت کرد : گفتگو می تواند و باید بر مفاهیم مورد قبول دو طرف آغاز گردد . اگر قرار باشد که یکی از دو طرف هیچ تفاهمی در قبول بدیهی ترین موضوع ها نداشته باشد ، از طرف دیگر ، هیچ کاری ساخته نیست .
در هر مقوله ای ناچاریم ساده ترین مفهوم ها را ، بدون تعریف بپذیریم ، تا بتوانیم بر اساس این پذیرش برای تعریف های پیچیده تر بنیانی داشته باشیم .
مثلا شما نمی توانید برای عمل جمع ، تعریفی ارائه دهید . هر تعریفی از آن منجر به بازی با واژه ها می شود : " جمع یعنی افزودن واحدهای یک عدد بر واحدهای عدد دیگر " ، " جمع یعنی روی هم ریختن دو یا چند عدد " ..... در این موارد تنها کاری که شده است ، این است که جمع را با واژه های" افزودن" یا " روی هم ریختن" توضیح داده ایم ، یعنی واژه ای را به جای واژه دیگر نشانده ایم .
البته اگر عمل جمع را بدون تعریف و به همان صورت شهودی مورد قبول بپذیریم ، آنوقت به سادگی می توانیم برای تفریق یا ضرب، که عمل های بغرنج تری هستند ، تعریف های روشن و قانع کننده ای پیدا کنیم:
- وقتی می گوییم a-b=c یعنی b+c=a
- وقتی می گوییم a×b یعنی جمع متوالی b با خودش به شرطی که تکرار مرتبه ها برابر a باشد .
روشن است که می شد مثلا مفهوم تفریق را به عنوان مفهوم بنیانی ، بدون تعریف پذیرفت و بعد با قبول آن راهی برای تعریف جمع باز کرد .
سرتاسر ریاضیات پر است از چنین مفهوم های نخستین و غیر قابل تعریف . حتی مفهومی مثل "مجموعه " که به صورت گسترده ای بر تمامی ریاضیات سایه افکنده است ، به خودی خود قابل تعریف نیست . باید مفهوم "مجموعه" را به همان صورتی که احساس می کنیم بپذیریم و سپس وارد بحث های دیگر بشویم .